Урок 2. Вычисление конечных сумм и произведений

на главную

• Предметная: Сформировать представление учащихся о методах вычисления конечных сумм и произведений с помощью цикла с параметром.
  
• Общеобразовательная: Развивать умение осваивать новый материал, умение логически мыслить, применять полученные знания на практике.

• Приветствие класса
  
• Проверка домашнего задания
  
• Объявление нового раздела и темы урока

Учащиеся читают теорию (текст спроецирован на экран или интерактивную доску либо находится в файле, имеющемся на каждом компьютере):

Вычисление конечной суммы сводится к нахождению суммы некоторого количества слагаемых

S = формула = f (1) + f (2) + …+ f (n),
где i – номер слагаемого, f (i) – слагаемое с номером i.

Вычисление суммы ряда организуется в виде циклического процесса, когда при каждом прохождении цикла номер слагаемого увеличивается на единицу, а сумма – на величину i-го слагаемого, равного f (i). Т. о., s_i = s_i-1 + f (i), где s_i и s_i-1 – суммы первых i и i − 1 слагаемых соответственно. Процесс повторяется до тех пор, пока не будут просуммированы все n слагаемых.

Учащимся предлагается ответить на вопросы:

1) Какая величина будет параметром цикла при вычислении конечной суммы? (номер слагаемого i)
2) Чему равны начальное и конечное значения параметра цикла? (начальное значение – 1, конечное значение – n)
3) Сколько раз необходимо повторить цикл? (n раз).

Пример. Составить программу вычисления суммы

формула. Формула суммирования должна быть записана в программе следующим образом:

S := S + f (i)

Это означает, что к предыдущему значению суммы добавляется i-е слагаемое и вычисленное значение присваивается той же переменной S (старое значение S при этом стирается). Если начальное значение S приравнять нулю, то после первого выполнения цикла значение S будет равно значению первого слагаемого: S = 0 + f (1).

Программа решения задачи будет иметь вид:

PROGRAM Summa;
CONST n : integer = 50;
VAR x, S : real;
i : integer;
BEGIN
readln (x);
S := 0.;
FOR i := 1 TO n DO
S := S + (cos ( (2 * i + 1) * x) ) / (2 * i + 1);
writeln (‘S = ‘, S);
END.

(Вопрос для учащихся:

что нерационально в этой программе?

Ответ:

Дважды вычисляется величина 2 * i + 1, и поэтому программа тратит лишнее время.
Для исправления этой ошибки следует ввести дополнительную переменную, например, k, и присвоить этой переменной значение 2i + 1. Исправленная программа имеет вид:

PROGRAM Summa;
CONST n : integer = 50;
VAR x, S : real;
i, k : integer;
BEGIN
readln (x);
S := 0.;
FOR i := 1 TO n DO
BEGIN
k := 2 * i + 1;
S := S + cos (k * x) / k;
END;
writeln (‘S = ‘, S);
END.

1. Оператор присвоения начального значения суммы S := 0. расположен до начала цикла, т. к. это присваивание необходимо сделать только один раз, до начала вычисления суммы.

2. Поскольку результат вычислений – одно число (окончательное значение суммы, вычисленное в цикле), то оператор вывода стоит после цикла и выполняется один раз.

Учащиеся самостоятельно составляют программу вычисления суммыформула

Программа имеет вид:

PROGRAM Summa1;
CONST n : integer = 20;
VAR k : integer;
a, x, S : real;
BEGIN
readln (a, x);
S := 0.;
FOR k := 0 TO 20 DO
S := S + (a / x) * (2 * (k – 1));
writeln (‘S = ‘, s);
END.

Учащимся предлагается ответить на контрольные вопросы:

1) По какой формуле вычисляется конечная сумма?
2) Чему равно начальное значение суммы?
3) Что прибавляется к сумме при очередном прохождении цикла?
4) Попробуйте догадаться, каким образом следует вычислять конечное произведение вида

P = формула = f (1) • f (2) • … • f (n) ?

Составить программу вычисления произведения P = формула . Числa n и x вводится с клавиатуры.

Программа должна иметь вид:

PROGRAM Proizv;
VAR i, j, n : integer;
P, x : real;
BEGIN
readln (n, x);
P := 1.;
FOR i := 1 TO n DO
BEGIN
j := 2 * i;
P := P * ( (cos (j + 1) ) / (sin (j - 1)));
END;
writeln ('P = ', P);
END.

на главную