Это — старая версия документа!
Тема Системы счисления имеет прямое отношение к математической теории чисел. Но в школьном курсе математики эта тема, как правило, не изучается. Необходимость изучения темы в курсе информатики связана с тем, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатиричную или восьмеричную системы счисления. Данная тема является смежной темой с математикой и вносит вклад и в фундаментальное математическое образование школьников.
Тема «Системы счисления» изучается в рамках раздела «Табличные вычисления на компьютере», в котором речь идет об организации числовых расчетов на компьютере с помощью электронных таблиц, т.е. о работе с числовой информацией. Поэтому естественно именно здесь раскрыть правила представления чисел в компьютерной памяти. Таким образом, данная тема продолжает линию представления информации.
Основные цели темы:
Процесс ознакомления учащихся с понятием систем счисления можно разделить на следующие этапы:
В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. В разные исторические эпохи применялись разные системы счисления - унарная, древнеегипетская, римская, алфавитные, древневавилонская, арабская десятичная.
Демонстрация История систем счисления позволяет познакомить учащихся с алфавитами, принципами записи чисел в разных системах счисления, а также содержит интересные факты о системах счисления.
Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на два класса: позиционные и непозиционные.
В непозиционных системах счисления от положения знака в записи числа не зависит величина, которую этот знак обозначает.
В позиционных системах счисления значение, которое обозначает цифра в записи числа, зависит от позиции этой цифры в числе. Позиционных систем существует множество, друг от друга они отличаются алфавитом системы счисления - множеством используемых цифр. Основание позиционной системы счисления - количество цифр, используемых в этой системе счисления.
Анимация Выдача денег оптимальным способом позволяет учащемуся получить общее представление о сущности непозиционных систем счисления. Первая часть анимации демонстрирует это понятие на «бытовом» уровне – на примере задачи о выдаче заданной суммы минимальным количеством купюр. Вторая и третья части анимации демонстрируют, по аналогии с ранее рассмотренной выдачей денежной суммы, процесс преобразования десятичного числа в римскую систему счисления и обратное преобразование. Во всех трех случаях учащемуся предоставляется возможность повторить демонстрацию, введя желаемое произвольное число.
Упражнения: Сдайте указанную сумму минимальным количеством купюр и монет
Система счисления, к которой мы все привыкли, называется десятичной. Объясняется это название тем, что в ней используется алфавит, состоящий из 10 символов - {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Число цифр определяет основание системы счисления, которое для десятичной системы счисления равно десяти. В двоичной системе счисления алфавит состоит всего из двух символов {0, 1}, а основание системы счисления равно двум. В двоичной, десятичной и других позиционных системах счисления значение цифры в записи числа зависит от самой цифры и от места расположения этой цифры в числе.
Сущность позиционных систем счисления отражается в развернутой форме записи чисел, которая представляет собой выражение, слагаемые которого являются произведениями значащих цифр числа на степени основания системы счисления.
Анимация Развернутая форма записи числа знакомит учащихся с развернутой формой записи чисел в общем виде, а также для целых и дробных чисел в двоичной и десятичной системах счисления.
Для перевода чисел в десятичную систему счисления надо записать исходное число в развернутой форме и вычислить значение полученного выражения в десятичной системе счисления.
Демонстрация к лекции Перевод недесятичных чисел в десятичную систему счисления представляет примеры перевода вещественных чисел из двоичной и восьмеричной систем счисления в десятичную.
Упражнения:
Преобразуйте число из двоичной системы счисления в десятичную
Преобразуйте число из пятиричной системы счисления в десятичную
Для перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную нужно разложить десятичное число на слагаемые, представляющие собой степени числа 2.
«Виртуальная лаборатория» Цифровые весы позволяет учащемуся на практике, на бытовом уровне самостоятельно вывести правило преобразования десятичного числа в произвольную систему счисления путем последовательного деления с остатком на степени основания системы счисления начиная с наибольшей степени и далее по уменьшению.
Основная методическая ценность данного ресурса заключается в свободном манипулировании со стороны учащегося объектами эксперимента: он может переносить (перетаскивать мышью) с полки на правую чашку весов гири в принципиально любом порядке. При этом программа выдает соответствующее сообщение, если установлен слишком большой вес, а по завершении самого первого «взвешивания» – подсказку о том, что наиболее рациональным является добавление на правую чашку весов каждый раз гири максимально возможного веса, не превышающего еще не уравновешенный остаток. Таблица же в нижней части окна анимации увязывает выбранные веса гирь со степенями двойки (основания системы счисления), номерами разрядов и единичными битами.
Далее (после успешного выполнения первого задания) учащемуся предлагается повторить его, введя любое произвольное число, а затем – вводя произвольное число и выбирая произвольную систему счисления.
Более универсальным методом перевода десятичных чисел в другие системы счисления является метод деления. Для изучения этого метода можно использовать следующие анимации:
Далее можно рассмотреть перевод чисел из любой произвольной системы счисления в любую другую произвольную систему счисления, используя десятичную систему счисления в качестве промежуточной.
Упражнения:
Преобразуйте число из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную
Анимация Преобразование чисел между системами с основаниями 2, 8 и 16 в процессе пошаговой демонстрации наглядно показывает упрощенный способ преобразования чисел между системами счисления с основаниями, кратными 2, путем последовательного преобразования триад (тетрад) битов по таблицам.
Упражнения:
Преобразуйте число из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную
Согласно принципу Дж. фон Неймана, компьютер производит вычисления в двоичной системе счисления,правила которой гораздо проще правил десятичной арифметики.
Арифметические операции в позиционных системах счисления
Сложение и вычитание одноразрядных двоичных чисел
Сложение и вычитание многоразрядных двоичных чисел
Умножение и деление двоичных чисел
Интерактивный задачник содержит примеры заданий на отработку темы «Системы счисления». Существуют два режима работы с задачником - Тренировка (с возможностью подсказок-пояснений)и Зачет
Тренировочный тест по теме: «Двоичная система и представление чисел в памяти компьютера»
После изучения темы «Системы счисления» в качестве вспомогательного инструмента для ученика можно использовать интерактивную модель Калькулятор систем счисления , который позволяет автоматизировать процесс перевода из одной системы счисления в другую, может использоваться учащимися 9-11-х классов как на уроках или факультативных занятиях по информатике, так и в процессе самоподготовки дома.