===== Системы счисления ===== Тема [[wpru>Система счисления|Системы счисления]] имеет прямое отношение к [[wpru>Теория чисел | математической теории чисел.]] Но в школьном курсе математики эта тема, как правило, не изучается. Необходимость изучения темы в курсе информатики связана с тем, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатиричную или восьмеричную системы счисления. Данная тема является смежной темой с математикой и вносит вклад и в фундаментальное математическое образование школьников. Тема "Системы счисления" изучается в рамках раздела «Табличные вычисления на компьютере», в котором речь идет об организации числовых расчетов на компьютере с помощью [[wpru>Табличный процессор|электронных таблиц]], т.е. о работе с числовой информацией. Поэтому естественно именно здесь раскрыть правила представления чисел в компьютерной памяти. Таким образом, данная тема продолжает линию представления информации. __Основные цели__ темы: *раскрыть понятие систем счисления *познакомить учащихся со способами представления чисел в позиционных системах счисления *дать представление об использовании двоичной системы в компьютере __Процесс ознакомления учащихся__ с понятием систем счисления можно разделить на следующие этапы: - История систем счисления. - Позиционные и непозиционные системы счисления. - Десятичная и двоичная системы счисления. - Перевод двоичных чисел в десятичную систему счисления. - Перевод десятичных чисел в двоичную систему. - Преобразование чисел между системами с основаниями 2, 8 и 16 - Двоичная арифметика. ---- === История систем счисления. === В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи [[wpru>Число| чисел.]] В разные исторические эпохи применялись разные [[wpru>Система счисления|системы счисления]] - унарная, древнеегипетская, [[wpru>Римские цифры|римская]], алфавитные, древневавилонская, [[wpru>Десятичная система счисления|арабская десятичная]]. Демонстрация [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/402b749c-240b-4e16-9e4d-bea3fc4fa8fa/9_139.swf |История систем счисления]] позволяет познакомить учащихся с алфавитами, принципами записи чисел в разных системах счисления, а также содержит интересные факты о системах счисления. ---- === Позиционные и непозиционные системы счисления.=== Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на два класса: позиционные и непозиционные. В непозиционных системах счисления от положения знака в записи числа __не зависит__ величина, которую этот знак обозначает. В позиционных системах счисления значение, которое обозначает цифра в записи числа, __зависит__ от позиции этой цифры в числе. Позиционных систем существует множество, друг от друга они отличаются [[wpru>Алфавит|алфавитом]] системы счисления - множеством используемых цифр. __Основание__ позиционной системы счисления - количество цифр, используемых в этой системе счисления. Анимация [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/6325be41-69cd-4980-8e51-7e6f5c526d65/%5BINF_031%5D_%5BAM_01%5D.swf | Выдача денег оптимальным способом]] позволяет учащемуся получить общее представление о сущности непозиционных систем счисления. Первая часть анимации демонстрирует это понятие на «бытовом» уровне – на примере задачи о выдаче заданной суммы минимальным количеством купюр. Вторая и третья части анимации демонстрируют, по аналогии с ранее рассмотренной выдачей денежной суммы, процесс преобразования десятичного числа в римскую систему счисления и обратное преобразование. Во всех трех случаях учащемуся предоставляется возможность повторить демонстрацию, введя желаемое произвольное число. Упражнения: [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/988b9bbe-0e11-413e-a0bc-dae967b27151/%5BINF_033%5D_%5BQS_13%5D.html| Сдайте указанную сумму минимальным количеством купюр и монет]] ---- === Десятичная и двоичная системы счисления. ==== Система счисления, к которой мы все привыкли, называется десятичной. Объясняется это название тем, что в ней используется алфавит, состоящий из 10 символов - {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Число цифр определяет основание системы счисления, которое для десятичной системы счисления равно десяти. В двоичной системе счисления алфавит состоит всего из двух символов {0, 1}, а основание системы счисления равно двум. В двоичной, десятичной и других позиционных системах счисления значение цифры в записи числа зависит от самой цифры и от места расположения этой цифры в числе. Сущность позиционных систем счисления отражается в развернутой форме записи чисел, которая представляет собой выражение, слагаемые которого являются произведениями значащих цифр числа на степени основания системы счисления. Анимация [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/a96df437-5ae3-4cab-8c5f-8d4cd78c5775/9_108.swf |Развернутая форма записи числа]] знакомит учащихся с развернутой формой записи чисел в общем виде, а также для целых и дробных чисел в двоичной и десятичной системах счисления. ---- ===Перевод двоичных чисел в десятичную систему счисления.=== Для перевода чисел в десятичную систему счисления надо записать исходное число в развернутой форме и вычислить значение полученного выражения в десятичной системе счисления. Демонстрация к лекции[[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/1a264912-eca9-4b45-8d77-c3655b199113/9_110.swf| Перевод недесятичных чисел в десятичную систему счисления]] представляет примеры перевода вещественных чисел из двоичной и восьмеричной систем счисления в десятичную. Упражнения: [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/92f1486b-b904-41d6-880a-cbf392e80c1f/%5BINF_033%5D_%5BQS_02%5D.html| Преобразуйте число из двоичной системы счисления в десятичную]] [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/7fd838d5-b2bb-44f2-9b49-819939bdf55a/%5BINF_033%5D_%5BQS_08%5D.html | Преобразуйте число из пятиричной системы счисления в десятичную]] ---- ===Перевод десятичных чисел в двоичную систему.=== Для перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную нужно разложить десятичное число на слагаемые, представляющие собой степени числа 2. «Виртуальная лаборатория» [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/498254ee-208d-4f10-96ff-192e79e2d25b/%5BINF_032%5D_%5BIM_01%5D.swf | Цифровые весы]] позволяет учащемуся на практике, на бытовом уровне самостоятельно вывести правило преобразования десятичного числа в произвольную систему счисления путем последовательного деления с остатком на степени основания системы счисления начиная с наибольшей степени и далее по уменьшению. Основная методическая ценность данного ресурса заключается в свободном манипулировании со стороны учащегося объектами эксперимента: он может переносить (перетаскивать мышью) с полки на правую чашку весов гири в принципиально любом порядке. При этом программа выдает соответствующее сообщение, если установлен слишком большой вес, а по завершении самого первого «взвешивания» – подсказку о том, что наиболее рациональным является добавление на правую чашку весов каждый раз гири максимально возможного веса, не превышающего еще не уравновешенный остаток. Таблица же в нижней части окна анимации увязывает выбранные веса гирь со степенями двойки (основания системы счисления), номерами разрядов и единичными битами. Далее (после успешного выполнения первого задания) учащемуся предлагается повторить его, введя любое произвольное число, а затем – вводя произвольное число и выбирая произвольную систему счисления. Более универсальным методом перевода десятичных чисел в другие системы счисления является метод деления. Для изучения этого метода можно использовать следующие анимации: *[[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/78ba290c-0f7c-4067-aaf4-d72f40f49f3b/9_109.swf|Перевод десятичных чисел в другие системы счисления ]] *[[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/b6f80d82-fc7d-49de-943b-6082c2ab31f8/%5BINF_029%5D_%5BAM_02%5D.swf | Преобразование десятичного числа в другую систему счисления]] (в частности, в двоичную). Данная анимация осуществляет пошаговую демонстрацию процесса преобразования десятичного числа в двоичную систему счисления путем последовательного деления на 2. Данный алгоритм (в отличие от обратного преобразования из двоичной системы счисления в десятичную путем умножений на степени двойки) может вызывать трудности у учащихся из-за того, что запись полученных остатков от деления производится в обратном направлении. Кроме того, пошаговая демонстрация более наглядна, чем статическая иллюстрация в традиционном учебнике. Далее можно рассмотреть перевод чисел из любой произвольной системы счисления в любую другую произвольную систему счисления, используя десятичную систему счисления в качестве промежуточной. Упражнения: [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/62a47c5b-3ed0-4e07-bf50-ad55ea04888b/%5BINF_033%5D_%5BQS_05%5D.html| Преобразуйте число из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную]] [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/f2d17d35-6a82-44ce-a6ba-575c605880f4/%5BINF_033%5D_%5BQS_09%5D.html|Преобразуйте число из троичной системы счисления в пятиричную (вы можете использовать десятичную систему в качестве промежуточной)]] ---- ===Преобразование чисел между системами с основаниями 2, 8 и 16=== Анимация [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/21854672-a155-4879-b433-bae02a2d1bd8/%5BINF_030%5D_%5BAM_01%5D.swf| Преобразование чисел между системами с основаниями 2, 8 и 16]] в процессе пошаговой демонстрации наглядно показывает упрощенный способ преобразования чисел между системами счисления с основаниями, кратными 2, путем последовательного преобразования триад (тетрад) битов по таблицам. Упражнения: [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/efa11bc6-aea3-40dc-80f9-908ea1001047/%5BINF_033%5D_%5BQS_04%5D.html| Преобразуйте число из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную]] ---- ===Двоичная арифметика.=== Согласно принципу [[wpru>Нейман, Джон фон | Дж. фон Нейман]]а, компьютер производит вычисления в двоичной системе счисления,правила которой гораздо проще правил десятичной арифметики. [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/58ada0e5-fc12-42b1-9978-7a583b483569/9_111.swf | Арифметические операции в позиционных системах счисления]] [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/8bb7eefa-4ed9-43fe-aebe-4d6ac67bc6ec/9_112.swf | Сложение и вычитание одноразрядных двоичных чисел]] [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/67cbf74b-f85a-4e9d-88c5-58f203fb90ce/9_113.swf |Сложение и вычитание многоразрядных двоичных чисел]] [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/caeea6cc-bd1d-4f47-9046-1434ac57e111/9_114.swf | Умножение и деление двоичных чисел ]] ---- ==Упражнения и тестовые задания по теме== [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/fc77f535-0c00-4871-b67c-fa2ecf567d46/9_115.swf | Интерактивный задачник]] содержит примеры заданий на отработку темы "Системы счисления". Существуют два режима работы с задачником - Тренировка (с возможностью подсказок-пояснений)и Зачет [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/19d0fb95-871d-4063-961d-e7dc5725e555/9_121.swf |Тренировочный тест]] по теме: "Двоичная система и представление чисел в памяти компьютера" ---- После изучения темы «Системы счисления» в качестве вспомогательного инструмента для ученика можно использовать __интерактивную модель__ [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/879c39fb-f25c-4334-a0c6-eee53bfb9767/%5BINF_033%5D_%5BIM_01%5D.swf| Калькулятор систем счисления]] , который позволяет автоматизировать процесс перевода из одной системы счисления в другую, может использоваться учащимися 9-11-х классов как на уроках или факультативных занятиях по информатике, так и в процессе самоподготовки дома. ---- == Полезные ресурсы == * [[http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/7166bb7e-e091-40fe-b557-536e72197b8b/%5BINF_000%5D_%5BME_00%5D.html|Методическое пособие для учителя по использованию в учебном процессе набора ЦОР «Информатика. 8-9 классы».]]